「損益がゼロになる償還時レート」・近似の場合

【考え方】

各利払い時に適用するレートを一律に「当初レートと償還時レートの平均」としてしまう。

当初レートをＡ、償還時レートをＸとすれば、その平均は「 $\displaystyle \frac{A+X}{2}$ 」。

これをｎ（合計利払い回数）倍したものを、前の式

　　　　　　　 $\displaystyle \frac{\bm{1}\bm{0}\bm{0}\bm{(}\bm{A}-\bm{X}\bm{)}}{\bm{A}}=\bm{\{}\bm{A}$ ・ $\displaystyle \bm{n}-\frac{\bm{(}\bm{A}-\bm{X}\bm{)}}{\bm{n}}$ ・ $\displaystyle \sum_{\bm{i}=\bm{1}}^{\bm{n}}\bm{i}\bm{\}}\frac{\bm{C}}{\bm{A}}$

の $\{A$ ・ $n-\displaystyle \frac{(A-X)}{n}$ ・ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i\}$ の部分と置き換えて、

償還時の為替差損のマイナス分＝受け取る利払い分合計　　……（１）

となる償還時レートＸを求める。

当初レート：Ａ

償還時レート：Ｘ

利払い回数合計：ｎ

クーポン：Ｃ

とすると、（１）の等式は、

　　 $\displaystyle \frac{\bm{1}\bm{0}\bm{0}\bm{(}\bm{A}-\bm{X}\bm{)}}{\bm{A}}=(\frac{\bm{A}+\bm{X}}{\bm{2}}$ ・ $n)\displaystyle \frac{\bm{C}}{\bm{A}}$

となって、前よりもかなりシンプルな式にできる。

【解き方・途中式】

両辺に $A$ を掛ければ、両辺の $\displaystyle \frac{1}{A}$ が消える。

　　　 $100(A-X)=(\displaystyle \frac{A+X}{2}n)C$

右辺の分母「２」が少々うざいので、両辺に２を掛けてしまう。

　　　 $200(A-X)=(A+X)n$ ・ $C$

カッコを開いて、 $X$ 関連の項を取りあえず右辺に、それ以外は左辺に移項する。

　　　 $200A-200X=n$ ・ $A$ ・ $C+n$ ・ $X$ ・ $C$

$200A-n$ ・ $A$ ・ $C=200X+n$ ・ $X$ ・ $C$

$(200-n$ ・ $C)A=(200+n$ ・ $C)X$

$(200+n$ ・ $C)$ で両辺を割れば、「Ｘ＝」の式ができる。

「Ｘ」を左辺にすれば、

　　償還時レート $\displaystyle \bm{X}=\bm{(}\frac{\bm{2}\bm{0}\bm{0}-\bm{n}\text{・}\bm{C}}{\bm{2}\bm{0}\bm{0}+\bm{n}\text{・}\bm{C}}\bm{)}\bm{A}$

という式になります。◇