「０．５乗」とは一体どういう意味なのか

■指数の数字を細かく変えればありとあらゆる数が表現できる■

本書巻末の「債券の仕組み」の中にも少し書いていますが、金利計算では期間（年数Ｔ）は厳密には日数を年換算した値を用います。

概算で「約○年×ヶ月」とする場合には、「○＋ $\displaystyle \frac{\times}{12}$ 」年とします。3年３ヶ月であれば「３＋ $\displaystyle \frac{3}{12}$ 」で3.25年、５年10ヶ月なら「５＋ $\displaystyle \frac{10}{12}$ 」で5.833…年です。

高校の数Ⅱで指数関数をやったときには、２乗とか５乗とか、「何乗」の指数部分は整数のケースがほとんどだったと思いますが、「何乗」の部分が整数と決まっているわけではありません。

複利の計算期間のように、3.25乗なり、5.833乗なり、「小数点がついた数」や「 $\displaystyle \frac{13}{4}$ 乗」や「 $\displaystyle \frac{35}{6}$ 乗」のように「分数」が指数になることもあるわけです。

加えて、「マイナス５乗」「マイナス4.85乗」「マイナス $\displaystyle \frac{5}{6}$ 乗」というふうに、「負の数」乗の値もあります。

（ちなみに、債券の価格計算では、この「負の数」乗を頻繁に使います。）

「小数点のついた数」乗や「分数」乗、「負の数」乗をもう少し詳しく知るために、ここで、 $y=2^{x}$ という指数関数のグラフを見てみます。

このグラフは、ｘの範囲が $-5\leqq x\leqq 5$ で、それに対応するｙの範囲は「 $0.03125\leqq y\leqq 32$ 」となっています。

グラフの線が途切れることなく連続しているということは、ｘの値を細かく変えれば $,$ ｙの値として「 $0.03125$ から32までの、ありとあらゆる数（実数）が表現できることを意味します。

$y=a^{x}(a$ ＞１の定数）の指数関数の場合、指数部分のｘの値のマイナスが大きくなるほど、ｙの値はゼロに近づいていきます。

ですから、ｘの範囲を－∞ $\leqq$ ｘ $\leqq$ ∞とすれば、ｘの値を細かく変えることで、ｙの値として「０ $\leqq$ ｙ $\leqq$ ∞」のありとあらゆる数が表現できるわけです。

また、たとえば $y=-(2^{x})$ とすれば、ｘの値を細かく変えていくことによって、ｙの値として「 $0\geqq y\geqq$ －∞」のありとあらゆる数が表現できます。

つまり、「小数点がついた数」乗、あるいは「分数」乗といった指数を使えば、細かな期間（日数まで年換算した「年数Ｔ」）に対応する複利の元利合計額が計算できる、というわけです。

なお、指数関数の底はゼロより大きく、かつ、１でない数であることが条件となっています。

上で見たグラフは「２のｘ乗」のグラフで、底が１より大きい数の指数関数のグラフはこのような形になりますが、底が「０より大きく、１より小さい」場合には、グラフの形は下のようになります。

■「２の３乗」は２×２×２。では、「２のマイナス５乗」とは何か■

ところで、たとえば「２の３乗」と言えば「２×２×２」で２を３回掛ける、「２の５乗」なら「２×２×２×２×２」で２を５回掛けるということはわかります。

しかし、「２の0.5乗」というのは何なのか。「２を0.5回掛ける」とは、どんな意味なのでしょうか。

あるいは、「２の $\displaystyle \frac{13}{4}$ 乗」とは、「２」という数をどうすることなのか。ましてや、「２のマイナス５乗」といった負の数乗の数字とは何なのでしょうか。

これらが何を示すものか具体的に理解するために、ここで数Ⅱで習った「指数法則」を思い出してみましょう。

（指数法則その１）…底が同じ数の掛け算は、指数部分の数の足し算で表現できる。

たとえば、「２の２乗」×「２の３乗」であれば、「２の（２＋３＝）５乗」になる、という法則。

なぜ、もともと掛け算であったものを「指数部分の足し算」にしてしまってよいかというと、「２の２乗」は２を２回掛けたもの、「２の３乗」は２を３回掛けたものなので、

　　　　　 $2^{2}\times 2^{3}=(2\times 2)\times(2\times 2\times 2)=2^{2+3}=2^{5}$

となるからです。

底の値はゼロより大きい数ならば何でもよくて、これを「 $a$ 」という文字で、指数を「 $m$ 」「 $n$ 」という文字で表すとすれば、

　　　　　　　　　　 $\bm{a}^{\bm{m}}\times \bm{a}^{\bm{n}}=\bm{a}^{\bm{m}+\bm{n}}$ 　　

となります。

（指数法則その２）…底が同じ数の割り算は、指数部分の数の引き算で表現できる。

たとえば、「２の５乗」÷「２の３乗」であれば、「２の（５－３＝）２乗」になる、という法則。

指数部分の引き算になる理由は、指数法則その１と同じように考えればすぐにわかると思います。

「２の５乗」は２を５回掛けたもので、これを「２の３乗」すなわち２を３回掛けたもので割るということは、、

　　　　　 $2^{5}\displaystyle \div 2^{3}=\frac{2\times 2\times 2\times 2\times 2}{2\times 2\times 2}$

という分数になります。

分母にある「２」の個数分、分子の「２」が約分できて消えるので、

　　　　　 $2^{5}\displaystyle \div 2^{3}=\frac{2\times 2\times 2\times 2\times 2}{2\times 2\times 2}=2^{5-3}=2^{3}$

となるわけです。

これも底を「 $a$ 」、指数の数を「 $m$ 」「 $n$ 」として表すと、

　　　　　　　　　 $\displaystyle \bm{a}^{\bm{m}}\div \bm{a}^{\bm{n}}=\frac{\bm{a}^{\bm{m}}}{\bm{a}^{\bm{n}}}=\bm{a}^{\bm{m}-\bm{n}}$

です。

と、このように、指数がついている数というのは、「掛け算を足し算として計算できる」「割り算を引き算として計算できる」という、とても便利なものなのです。

ここで、指数法則その２を今一度見てください。

この法則で、２つの数の指数部分の $m$ と $n$ が同じ数だとしたらどうなるでしょうか。つまり「 $m=n$ 」というケースです。

指数部分を引き算すると、「 $m-n=m-m=0$ 」と、指数部分がゼロになってしまいます。底が２ならば「２のゼロ乗」、底を「 $a$ 」とするならば、「 $a$ のゼロ乗」です。

「ゼロ乗」とは、何でしょうか。

指数法則その２を逆から考えていくと、

　　　 $\displaystyle \bm{a}^{\bm{0}}=\bm{a}^{\bm{m}-\bm{m}}=\frac{\bm{a}^{\bm{m}}}{\bm{a}^{\bm{m}}}=\bm{a}^{\bm{m}}\div \bm{a}^{\bm{m}}$

になります。

「 $a^{m}$ を $a^{m}$ で割る」という、ある数を同じ数で割るわけですから、答えは「１」です。

つまり、底がゼロより大きいどんな数であっても、「ゼロ乗」といったら、それは「１」なのです。

そこで、

（指数法則その３）…底がいくらであっても、「ゼロ乗」のときは１．

　　　　　　　　　 $\bm{a}^{\bm{0}}=\bm{1}$

です。

単利と複利の計算では、「スタート地点（Ｔ＝０）はどちらも同じ元本金額そのもの」でした。最初から同じ元本金額を想定しているのだから当然といえば当然なのですが、これは、年数Ｔがゼロの場合、

（単利の式）　　元本 $\times\bm{(}\bm{1}+$ （金利） $\times$ 0)=元本 $\times$ 1=元本そのもの

（複利の式）　　元本 $\times\bm{(}\bm{1}+$ 金利 $\bm{)}^{\bm{0}}=$ 元本 $\times \bm{1}=$ 元本そのもの

という計算の結果でもあります。

この指数法則その３を踏まえたうえで、もう一度、指数法則その２を見てみます。

もし、指数部分の $m$ が０、 $n$ が０でない数、たとえば「５」だとしたら、これはどういう数になるでしょうか。

指数の部分は「０－５」で－５となります。

底が「２」の場合ならば、

　　　 $\displaystyle \bm{2}^{\bm{0}-\bm{5}}=\bm{2}^{-\bm{5}}=\frac{\bm{2}^{\bm{0}}}{\bm{2}^{\bm{5}}}=\frac{\bm{1}}{\bm{2}^{\bm{5}}}$

です。

「２のマイナス５乗」というのは、「２の５乗分の１」という、２の５乗の逆数だったのです。

底が２でなくても同じです。

指数部分が「マイナス何乗」となっている数とは、「（底の）何乗分の１」という逆数を表します。

そこで、

（指数法則その４）…「マイナス何乗」は「何乗分の１」を表す。

　　　　　　　 $\displaystyle \bm{a}^{-\bm{m}}=\frac{\bm{1}}{\bm{a}^{\bm{m}}}$

となります。

これで、「マイナス何乗」という数が何を表すのかがわかりました。

■「２を0.5回分掛けた数」とはどんな数？■

今度は「小数点がついた数」乗、「分数」乗の数を考えてみます。

まず

（指数法則その５）…指数がついた数をさらに何乗かした数は、指数部分の掛け算で表現できる。

たとえば、「２の３乗」をさらに２乗した数は、「２の（３×２＝）６乗」になる、といった具合です。

「２の３乗」をさらに２乗するというのは、

$(2^{3})^{2}=(2\times 2\times 2)^{2}=(2\times 2\times 2)\times(2\times 2\times 2)$

と、「３乗」の部分が２倍になります。なぜ２倍かといえば、「２乗」するからにほかなりません。これが４乗であれば、「２の３乗」を４回掛けることになるので、「２の（３×４＝）12乗」です。

底を「 $a$ 」、指数部分を「 $m$ 」「 $n$ 」として表せば、

　　　　　　 $\bm{(}\bm{a}^{\bm{m}}\bm{)}^{\bm{n}}=\bm{a}^{\bm{m}\times \bm{n}}$

というわけです。

この指数部分の「 $m$ 」や「 $n$ 」ですが、この数は０であっても、マイナスであっても、小数であっても、分数であっても、どんな数でも構いません。

ここで、ｍが0.5の場合を考えてみます。

ｍ＝0.5だとすると、ｎが２のときｍ×ｎは「0.5×２」で１となります。

底が「２」だとすると、

　　　　　 $\bm{2}^{\bm{0}\bm{.}\bm{5}\times \bm{2}}=\bm{(}\bm{2}^{\bm{0}\bm{.}\bm{5}}\bm{)}^{\bm{2}}=\bm{2}^{\bm{1}}$

です。

「２の１乗」は「２」そのものです。つまり、この式は、「『２の0.5乗』なる数を２乗すると『２』になる」ことを表しています。

ということは、「２の0.5乗」なる数は、「それを２乗すると２になる数」ということになります。

その数は何かといえば、そうです。「 $\sqrt{2}$ 」、です。

「２を0.5乗（＝ $\displaystyle \frac{1}{2}$ 乗）する」、「２を0.5回（＝ $\displaystyle \frac{1}{2}$ 回）掛ける」というのは「２乗して（底である）２にする」ということだったわけです。

ここで金利の計算のことを思い出すと、金利が４％で、期間が0.5（＝ $\displaystyle \frac{1}{2}$ ）年のときの複利計算の式は（ $1+0.04)^{0.5}$ でした。この式から出てくる数は、「２乗すると1.04になる数」を意味します。それが「1.0198」という値です。

では、２の「３分の１乗」はどうでしょうか。

これは「３乗すると２になる数」ということですから、これは「２の３乗根」、 $\sqrt[3]{2}$ です。

そこで、

（指数法則その６）…「○分の１乗」は「○乗根」を表す。

底が $a$ の場合、 $\displaystyle \frac{1}{m}$ 乗は

　　　　　　 $\bm{a}^{\frac{\bm{1}}{\bm{m}}}=\sqrt[\bm{m}]{\bm{a}}$

です。

指数部分が「４分の３乗」や「12分の７乗」など、「分子が１でない分数」乗の場合はどんな数になるかというと、これも指数法則その５と指数法則その６から考えることができます。

たとえば、「12分の７乗」という数は「 $\displaystyle \bm{7}\times\frac{1}{12}$ 」です。

底をａとして、指数法則その５を逆から用いれば

　　　　　 $\bm{a}^{\frac{\bm{7}}{\bm{1}\bm{2}}}=\bm{a}^{\bm{7}\times\frac{\bm{1}}{\bm{1}\bm{2}}}=\bm{(}\bm{a}^{\bm{7}}\bm{)}^{\frac{\bm{1}}{\bm{1}\bm{2}}}$

という形になります。

つまり、「12分の７乗」とは、「底を７乗したものの12乗根」という意味です。√を使って表せば、

　　　　　　 $\bm{a}^{\frac{\bm{7}}{\bm{1}\bm{2}}}=\bm{(}\bm{a}^{\bm{7}}\bm{)}^{\frac{\bm{1}}{\bm{1}\bm{2}}}=\sqrt[\bm{1}\bm{2}]{\bm{a}^{\bm{7}}}$

となります。

ちなみに、「12分の７」を「 $\displaystyle \frac{1}{12}\times 7$ 」として考えれば、これは「底を12乗根したものを７乗した数」とも捉えられます。式に表せば、

　　　　　 $\bm{a}^{\frac{\bm{7}}{\bm{1}\bm{2}}}=\bm{(}\bm{a}^{\frac{\bm{1}}{\bm{1}\bm{2}}}\bm{)}^{\bm{7}}=\bm{(}\sqrt[\bm{1}\bm{2}]{\bm{a}}\bm{)}^{\bm{7}}$

と書けます。

これらをまとめて、

（指数法則その７）…「○分の×乗」は、「×乗したものの○乗根」または「○乗根を×乗した数」を表す。

底がａのとき、「ｍ分のｎ乗」は、

　　　　　　 $\bm{a}^{\frac{\bm{n}}{\bm{m}}}=\sqrt[\bm{m}]{\bm{a}^{\bm{n}}}=\bm{(}\sqrt[\bm{m}]{\bm{a}}\bm{)}^{\bm{n}}$

と表現できます。◇