年複利回数が大きくなると残高が”定額”に近づく理由とは

■自然科学になくてはならない「ｅ $=$ ２．７１８２８…」という値■

本書の中で何度か述べているように、複利の効果は非常に大きいものがあります。

そして、残高の増え方は、年１回複利よりも年２回複利のほうが、年２回複利よりも年４回複利のほうが大きくなります。

つまり、年複利回数が多いほうが、「より有利に増やせる」わけですが、複利回数が多くなればなるほど残高はどんどん増えていくのか、というと、実はそうではありません。

年間の複利回数が大きな数字になると、年間の元利合計額は”定額”化してしまうのです。

これは一体なぜでしょうか。

まず、改めて複利計算の式を見てみましょう。

金利をｒ、期間をＴ年とすると、年1回複利の元利合計額は、

　　　　　元本× $\bm{(}\bm{1}+\bm{r}\bm{)}^{\bm{T}}$

で表されます。元利合計額は当初元本の「（１＋ｒ）のＴ乗」倍になる、ということなので、以下では「元本×」の部分は省略します。

年２回複利の場合は、

　　　　　 $\displaystyle \bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{r}}{\bm{2}}\bm{)}^{\bm{2}\bm{T}}$

と、１回の利払い時にもらえる金利分は２分の１に減るものの、指数部分が「２Ｔ乗」と大きくなります。

年ｍ回複利ならば、

　　　　　 $\displaystyle \bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{r}}{\bm{m}}\bm{)}^{\bm{m}\bm{T}}$

です。

複利回数ｍの値が非常に大きな数になると、 $\displaystyle \frac{r}{m}$ の値は限りなくゼロに近づき、 $mT$ 乗の値はとてつもなく大きな数になります。

そういう状況になると、何かが起きるのでしょうか。

ここで、 $\displaystyle \frac{r}{m}$ をｈという文字に置き換えてみます。すなわち、

　　　　　　 $\displaystyle \frac{\bm{r}}{\bm{m}}=\bm{h}$

とします。

そうすると、ｍという文字は、

　　　　　 $\displaystyle \frac{\bm{r}}{\bm{m}}=\bm{h}$ 　 $\text{[math]}$ →　　 $\displaystyle \bm{m}=\frac{\bm{r}}{\bm{h}}=\frac{\bm{1}}{\bm{h}}\times \bm{r}$

という形で表現できます。

この表現を使って「年ｍ回複利」の式を書き換えると、

　　　　　 $\displaystyle \bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{r}}{\bm{m}}\bm{)}^{\bm{m}\bm{T}}=\bm{(}\bm{1}+\bm{h}\bm{)}^{\frac{\bm{1}}{\bm{h}}\times \bm{r}\times \bm{T}}$

という式に変わります。

前のリンク部分「0.5乗とはどういう意味なのか」のところに登場した「指数法則その５」を使えば、この式は

　　　　　 $\bm{(}\bm{1}+\bm{h}\bm{)}^{\frac{\bm{1}}{\bm{h}}\times \bm{r}\times \bm{T}}=\bm{\{}\bm{(}\bm{1}+\bm{h}\bm{)}^{\frac{\bm{1}}{\bm{h}}}\bm{\}}^{\bm{r}\bm{T}}$

という書き方にできます。

この式を言葉で表現するならば、「１にｈを足したものを、ｈ分の１乗する。それをさらに『ｒ×Ｔ』乗する」となります。

ここで｛｝内の「１にｈを足したものを、ｈ分の１乗する」というところに注目します。

実は、この「１にｈを足したものを、ｈ分の１乗する」という式、ｈの値を限りなくゼロに近づけると、”ある一定の数”に収束することが、偉大なる先人たちの研究でわかっているのです。

その”ある一定の数”はネイピア数と呼ばれ、「ｅ」という文字で表現されます。

”一定の数”とは、

　　　ネイピア数ｅ＝２．７１８２８１８…

という値で、小数点以下は循環することなく延々と続きます。（円周率πのような値、無理数です）

先述したように、ｍの値が大きくなると $\displaystyle \frac{r}{m}$ の値はどんどん小さくなり、ｍが非常に大きくなれば $\displaystyle \frac{r}{m}$ （＝ｈ）はほとんどゼロといってもいいような極々小さい数になります。

高校でやった「極限」の書き方を使うと、

　　　　 $\displaystyle \mathbf{\lim}_{\bm{x}\rightarrow \bm{0}}\bm{(}\bm{1}+\bm{h}\bm{)}^{\frac{\bm{1}}{\bm{h}}}=\bm{e}=\bm{2}\bm{.}\bm{7}\bm{1}\bm{8}\bm{2}\bm{8}\bm{1}\bm{8}$ …

です。

ちなみに、ｈを限りなくゼロに近づけるということは、「 $\displaystyle \frac{1}{h}$ を限りなく∞に近づける」ということでもあります。

そうすると、たとえばｈを「 $\displaystyle \frac{1}{x}$ 」に、「 $\displaystyle \frac{1}{h}$ 」を「ｘ」に置き換えた場合には、この式は、

　　　　　 $\displaystyle \mathbf{\lim}_{\bm{x}\rightarrow\infty}\bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{1}}{\bm{x}}\bm{)}^{\bm{x}}=\bm{e}=\bm{2}\bm{.}\bm{7}\bm{1}\bm{8}\bm{2}\bm{8}\bm{1}\bm{8}$ …

という表し方もできます。

どちらも同じ意味で、これがネイピア数の定義式とされます。（このｅという数やその定義は高校の数Ⅲで出てきます）

この数の最も古い研究の発表はジョン・ネイピアという学者が行ったとされ、それゆえ「ネイピア数」と呼ばれているのですが、もともとはヤコブ・ベルヌーイという大数学者がこの形の式を立て、その具体的な数値を求めようとしたものとも言われます。

この式の値を「ｅ」という文字（ $exponential$ （指数関数）の頭文字）で表現したのがレオンハルト・オイラーという、これまた偉大な大数学者でした。

この「ｅ」は、非常に不思議で便利な値で、たとえば、これを底とした指数関数「 $e^{x}$ 」は微分しても積分しても「 $e^{x}$ 」になるという性質を持っています。

また、ｅを底とした対数（ $log e A)$ は自然対数と呼ばれ、物理学をはじめとする自然科学分野では非常に頻繁に使われます。具体的なところはまた改めて紹介しますが、自然科学分野になくてはならないもの、といっても全く過言ではない数値なのです。

経済学の分野でも、たとえば統計学関連にｅがよく出てきます。金融分野もしかりです。

この「ｅ」という数値を用いると、年複利回数ｍが非常に大きい数字になったときの元利合計額は

　　　　　元利合計額＝元本× $\bm{e}^{\bm{r}\bm{T}}$

という式で表現できます。

「ｅ」は”一定の数”ですから、ｒとＴが同じであれば、元利合計額は”定額”になるわけです。

元本を１００として、金利ｒが４％、期間Ｔが30年とすれば、

　　　　　元利合計額＝ $\bm{1}\bm{0}\bm{0}\times \bm{e}^{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{4}\times \bm{3}\bm{0}}=\bm{3}\bm{3}\bm{2}\bm{.}\bm{0}\bm{1}\bm{1}\bm{7}$

と、本文中で紹介している数字になります。

Ｔ＝１、すなわち1年後の元利合計額は、

　　　　　　　元本 $\times \bm{e}^{\bm{r}}$

で表されます。

この「ｅのｒ乗」とは何なのかというと、 $e$ の定義が $(1+h)^{\frac{1}{h}}$ （の極限）で表されることと、 $h$ が「 $\displaystyle \frac{r}{m}$ 」を置き換えた文字であったことを思い出すと、

　　　　　　 $\displaystyle \bm{e}^{\bm{r}}=\bm{(}\bm{1}+\bm{h}\bm{)}^{\frac{\bm{1}}{\bm{h}}\times \bm{r}}=\bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{r}}{\bm{m}}\bm{)}^{\frac{\bm{m}}{\bm{r}}\times \bm{r}}=\bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{r}}{\bm{m}}\bm{)}^{\bm{m}}$

となって、「年複利回数がｍの複利計算式でＴ＝１のとき」の値と一致することがわかります。

ｍ＝１、すなわち年１回複利であれば、「ｅのｒ乗」は $(1+r)$ です。

■「 $\displaystyle \bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{r}}{\bm{m}}\bm{)}^{\frac{\bm{m}}{\bm{r}}}$ 」なる式は一体何を表しているのか■

ｅの値を求める式「 $(1+h)^{\frac{1}{h}}$ 」は、もともとはヤコブ・ベルヌーイという大数学者が立てたもの、と述べましたが、一体何のためにこんな式を考えたのかというと、それは利子の複利計算式との関連だったいう説があります。

自然科学分野になくてはならない値の根源が実は「複利計算」にあったとすれば、これは非常に興味深いことではないでしょうか。

それにしても、このｅという数値、その定義「 $(1+h)^{\frac{1}{h}}$ 」という式、あるいは、 $h$ を「 $\displaystyle \frac{r}{m}$ 」に戻したときの

　　　　　　　　　 $\displaystyle \bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{r}}{\bm{m}}\bm{)}^{\frac{\bm{m}}{\bm{r}}}$

なる式は、一体何を表しているのでしょうか。

この式の中の「 $\displaystyle \frac{r}{m}$ 」は、「年利ｒを複利回数ｍで割った値」ですから、１回あたりの利子率を意味することはわかります。

では、その逆数、指数の部分「 $\displaystyle \frac{m}{r}$ 」は、どういう意味なのでしょうか。

ここで、今さらながらですが、分数というものについて考えてみます。

たとえば、樽の中にある1.8リットルの日本酒を柄杓で10回、同じ量ずつ掬って樽を空にするとします。

そうすると、１回に掬う量は「1.8リットル $\div$ 10回」で $\displaystyle \frac{1.8}{10}$ リットル。1.8リットルを回数10で割ることによって、「単位回数当たりに掬う量」が得られます。

この計算は、年利ｒを年複利回数ｍで割った「 $\displaystyle \frac{r}{m}$ 」が「単位利払い回数当たりの利子率」のような感じです。

これを「10回÷1.8リットル」の「 $\displaystyle \frac{10}{1.8}$ 」としたら、どんな意味になるでしょうか。

これは、「単位リットル当たりの掬い回数」、というと言い方がちょっと変ですが、つまり、１リットルという単位量が汲み上げられるのは、柄杓何回分に相当するか、を示します。「柄杓で $\displaystyle \frac{10}{1.8}$ 回（杯）汲み上げた量が１リットル」というわけです。

同じように考えると、「 $\displaystyle \frac{m}{r}$ 」は、「『単位当たりの金利』になるのは、利子をもらう回数にして何回に相当するか」を示します。要するに、「何回利子をもらうと、『単位当たりの金利』になるか」です。

この「単位当たりの金利」とは何でしょうか。

金利は４％とか５％だから、「単位当たりの金利」は１％か、というとそうではありません。

金利ｒは0.04なり0.05なりという数字を用いて計算していますから、１％は0.01という数値になります。0.01は「単位」とは言いません。

「単位当たり」という場合の「単位」とは１です。「１」ということは、金利％で言うならば「100％」です。

つまり、「 $\displaystyle \frac{m}{r}$ 」は、「何回利子をもらうと、金利100％になるか」を表していることになります。

金利100％とは何かというと、単利で考えたときに「金利でもらう額が元本額と同じになる」ことを意味します。

それに必要な利子をもらう回数が「 $\displaystyle \frac{m}{r}$ 回」であり、「 $\displaystyle \frac{r}{m}$ 」の利率分を「 $\displaystyle \frac{m}{r}$ 」回もらうと、単利では元本が２倍になる、ということです。

単利の式では、年ｍ回利払いがあった場合の元利合計は「元本×（１＋ $\displaystyle \frac{r}{m}$ ・ $m$ ・ $T)$ 」となり、ｍが約分されて、結局は年１回利払いの式「元本× $(1+r$ ・ $T)$ 」と同じになります。

つまり、単利の場合の期間Ｔは、「年利ｒ分をもらう回数」を示すものでもあるわけです。

では、年利ｒを何回もらうと「金利100％」、すなわち元本が２倍になるでしょうか。

答えは、「年利ｒの逆数回」です。

たとえば、年利ｒが４％（0.04＝ $\displaystyle \frac{4}{100}$ ）であれば、その逆数の $\displaystyle \frac{100}{4}=25$ 年分（25回分）の利払いをもらえば「年利ｒ×回数」は１になります。

期間（＝利子をもうら回数）Ｔを、年利ｒの逆数「 $\displaystyle \frac{1}{r}$ 」として単利の式に当てはめれば

　　元本×（１＋ $r$ ・ $T\bm{)}=$ 元本×（ $\bm{1}+\bm{r}$ ・ $\displaystyle \frac{\bm{1}}{\bm{r}}\bm{)}$ ＝元本×２

と、確かに元本は２倍になっています。

この「年利ｒのとき、単利で元本が２倍になる期間Ｔ＝ $\displaystyle \frac{1}{r}$ 」を年１回複利で運用したら、元本はどのくらい増えるのでしょうか。

金利ｒ、期間Ｔ＝ $\displaystyle \frac{1}{r}$ を年１回複利の式に入れてみると、、

　　　　　　　元本× $\bm{(}\bm{1}+\bm{r}\bm{)}^{\bm{T}}=$ 元本× $\bm{(}\bm{1}+\bm{r}\bm{)}^{\frac{\bm{1}}{\bm{r}}}$

と、これはまさにｅの定義の式「（ $(1+h)^{\frac{1}{h}}$ 」と同じ形ではありませんか。

また、年複利回数ｍ回の複利計算の式「 $(1+\displaystyle \frac{r}{m})^{mT}$ 」の期間Ｔを $\displaystyle \frac{1}{r}$ としてみると、

　　　　　 $\displaystyle \bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{r}}{\bm{m}}\bm{)}^{\bm{m}\bm{T}}$ →　　 $\displaystyle \bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{r}}{\bm{m}}\bm{)}^{\bm{m}\text{・}\frac{\bm{1}}{\bm{r}}}=\bm{(}\bm{1}+\frac{\bm{r}}{\bm{m}}\bm{)}^{\frac{\bm{m}}{\bm{r}}}$

と、これは $h$ を「 $\displaystyle \frac{r}{m}$ 」に戻した式です。やはりｅの定義式と同じになるのです。

ということは、ｅ＝2.7182818…という数字は、「金利ｒのときに、単利で元本が２倍になる年数分を複利運用したとすると、元本は何倍になるか」を示していると解釈できます。

つまり、単利で元本が２倍になるのと同じ年数分（利子をもらう回数分）、同じ金利で複利運用すると、元本は「ｅ」倍、すなわち、2.7182818…倍に収束する、というわけです。

最初に見たように、「 $(1+h)^{\frac{1}{h}}$ 」で計算される値がｅ＝2.7182818…に収束するのは「ｈが極めて小さい値、その逆数の $\displaystyle \frac{1}{h}$ は非常に大きい値」という極限の場合ですが、よほどの高金利でない限りは、概ね「単利で元本が２倍になるとき、複利では元利合計は2.7倍程度になる」と考えてよいでしょう。

金利水準が低くても、期間が金利の逆数相当の長さであれば、単利でも元本は２倍になります。そのとき複利運用すれば、元本はより増えて2.7倍以上です。

超低金利下でも、元本を増やしていきたいなら、やはり「複利」に限る、と言って間違いありません。　◇