logとは何を表現するものなのか

■指数関数を逆から表現したものが対数関数■

対数関数は指数関数とともに、高校の数ⅡＢで出てきます。

当時のことを思い出すと、指数関数は「まぁ、それなりにわかる」という感じでしたが、対数については「？？？」だったような印象があります。

その理由は、第一には勉強しなかったからにほかなりませんが、たぶん「log」なる表記にどん引きした面もあるのではないかと思います。

logなるもの、対数とは何なのかというと、「 $\bm{a}^{\bm{n}}=\bm{b}$ 」という形の指数の式を逆から表現する、つまり、「 $\bm{n}$ イコール」の形で表現するものです。

たとえば、「２を３回足すといくらになるか」は「２×３」という掛け算で表現します。これを「６は２を何回足したものか」という形にしたものが「６÷２」という割り算です。

この「３」に相当する値をｘ、「６」に相当する値をｙとして一次関数で表現すれば、 $y=2x$ というを「ｘイコール」という形にすると「 $x=\displaystyle \frac{y}{2}$ 」になります。、

これと同じで、「２を３回掛けたらいくらになるか」を表現するのが「 $2^{3}$ 」、これを「８は２を何回掛けたものか」というふうに、逆から表現したものが「 $log_{2}8$ 」という対数です。

$a$ を $\bm{n}$ 乗した値を $\bm{b}$ とすると、

　　　　　　　 $\bm{b}=\bm{a}^{\bm{n}}$ 　⇔　　 $\bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}$

という関係です。

どちらもａを「底」、対数のｂの値を「真数」と呼びます。

底ａには「ａ＞０　かつ　ａ≠１」という条件があります。

というのは、底ａが０では、何乗したところで０。ａ＝１の場合も、何乗したところでｂは１にしかなりません。

また、ａがマイナスの場合には、累乗する指数部分が奇数のときにはｂはマイナス、偶数のときにはプラスになる、といった具合に、ｂがプラスマイナス振動をしてしまいます。

対数の真数ｂには「ｂ＞０」という条件があります。底ａが０より大きい数であれば、「ａのｎ乗」の値ｂも０より大きい数になるからです。

なお、「ｎ乗」のｎには条件はありません。ｎは∞でも、マイナス∞でも、１でも０でもＯＫです。

ちなみに、ｎの値をマイナス∞にすると、ｂの値はほとんどゼロといってもいいくｌらい小さな値になりますが、完璧ゼロにはならず、「ｂ＞０」は満たします。

■指数の値は「定率ずつ増えていく期間」と捉える■

$2^{3}$ や $log_{2}8$ について「２を３回掛ける」「２を何回掛けたものか」などと表現しましたが、実際には、「掛ける回数」で考えると少々わかりにくくなることが出てきます。

「0.5乗とは一体どういう意味か」でも出てきたように、「何乗」という指数の部分は小数点がついている数の場合もあれば、分数の場合も、負の数の場合もあります。

指数の部分を「掛ける回数」として考えると、0.5乗は「0.5回掛ける」、 $\displaystyle \frac{13}{4}$ 乗は「 $\displaystyle \frac{13}{4}$ 回掛ける」、マイナス５乗は「マイナス５回掛ける」ということになり、なんだか意味がわかりません。

これを「回数」ではなく、たとえば秒なり、年数なりという、連続した期間（時間）だと考えると、途端にわかりやすくなります。

まさに複利の計算がそれですが、指数の部分を「定率ずつ複利的に増えていく年数」として考えれば、0.5乗は「半年後」、 $\displaystyle \frac{13}{4}$ 乗は「３年３ヶ月後」の状況、ということになります。

ではマイナス５乗は？　

マイナスというのは「いまから遡って」と解釈することができますから、マイナス５乗は「いまから５年前」という過去の状況を表しているわけです。

そして、「定率ずつ」の部分が底になります。「２の何乗」という場合なら、「毎年２倍（200％）ずつ増えていく」、「1.04の何乗」という場合なら、「毎年１．０４倍（４％）ずつ増えていく」という意味です。

もし、「最初１００だったものが、毎年２倍ずつ複利的に増えていったとき、５年後にはいくらになっているか」というように、「最初にいくらある」というもとの数が特定されている場合には、 $2^{5}$ にもとの数を掛けます。。

もとの数をｋ、底（増えていく率）をａとして、ｎ年後の値をｂとすれば、

$\bm{k}$ ・ $\bm{a}^{\bm{n}}=\bm{b}$

という式になります。

もとの数ｋが１であれば、ｂは $a^{n}$ そのものの値です。

これをもとに対数を考えてみます。

たとえば、「毎年２倍ずつ複利的に増えていったとき、もとの数『１』がｎ年後に10になった」とします。

これを「２のｎ乗」の式で表すと、

　　　　　　　　　 $\bm{1}$ ・ $\bm{2}^{\bm{n}}=\bm{1}\bm{0}$

これを、「毎年２倍ずつ複利的に増えていったとき、もとの数『１』が10になる年数」という表現にしたものが、

$\bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{2}}\bm{1}\bm{0}$

という対数です。

「最初１００万円あったものが、毎年４％（1.04倍）ずつ複利で増えていったとき、１３０万円になるのはｎ年後」であれば、

　　　　　　　 $\displaystyle \bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\frac{\bm{1}\bm{3}\bm{0}\text{万円}}{\bm{1}\bm{0}\bm{0}\text{万円}}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}$

となります。

この対数の真数は１．３ですが、これは結局、「もとの数がｎ年後に１．３倍になっている」ことを示しています。

つまり、底がａ，真数がｂという対数は、「毎年ａ倍ずつ複利的に増えていった場合、もとの数がｂ倍になっているのは何年後か」を表しているわけです。

複利の計算でいえば、底は「１＋金利ｒ」、真数は「元利合計額が元本の何倍になっているか」で、その対数で表現されるのが複利運用する年数Ｔです。

かつて対数を習ったとき、「logなんていうもの、一体何に使うのか」と思った人もいるのではないでしょうか。その後文系に進んだ人だと、実際に何にも使わなかったかもしれませんが、お金の運用を考える中では、このlogなるものが役に立ちます。

高校のときにはわからなかった、学校で習う数学の実用例のひとつだと思います。

■対数関数のグラフは指数関数のグラフと対称の形■

指数関数と呼ばれる関数は、 $\bm{y}=\bm{a}^{\bm{x}}$ といった形で表されるのが一般的で、この式のａは定数、ｘはいろいろな値をとる変数、ｙは「ｘを変えていったときの値」です。

一方、対数関数は、 $\bm{y}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{x}$ といった形で表現されます。ａはやはり定数で、「真数部分の x の値を変えていったとき、ｙの値はどうなるか」という意味です。

指数関数と対数関数、それぞれｘの値を変えていくとｙの値はどんな感じで変化していくのか。ここで、指数関数と対数関数のグラフを見ておきましょう。

上のグラフは、ａ＝２のときの指数関数と対数関数のグラフです。ａの値が１より大きい場合、両者のグラフは「ｙ＝ｘ」の直線に関して対称な形を描きます。

ａの値が、０＜ａ＜１の場合は、下のような形になります。

このグラフはａ＝0.5のケースです。　　　◇