微分すると「変化の様子」が見えてくる（１）


■微分の基本は、意外なほどに単純な割り算■

かつて数学が苦手だったという人にとって、微分と積分は「これは一体何のためのものなのか」と強く感じた、まさに最たるものではないでしょうか。

自分がまさにそうだったわけですが、まず、極限「lim」なるものが出てきて「？？」。そのあと、「ｘの２乗を微分すると２ｘになる」というような機械的に覚えられるものは覚えたものの、その意味など全く分からず。一体どういうことをやっていたのか、記憶にすら残っていないのが実情だったりします。


ところが、試験や受験のプレッシャーがない状況のもとで考えてみると、微分というものの基本は、意外なほどに単純な作業であることに気付きます。



「微分する」というのは具体的に何をすることかというと、たとえば、「y＝ｘをどうにかこうにかする」という関数f(x)があったときに


（「微分」という作業の手順）

①まず、１つｘの値を決める。これをたとえば\bm{x}_{\bm{1}}とする。

②\bm{x}_{\bm{1}}よりも極々わずかに大きいところにもう１点、\bm{x}_{\bm{2}}をとる。

③\bm{x}_{\bm{1}}のときのｙの値「\bm{y}_{\bm{1}}」と、\bm{x}_{\bm{2}}のときのｙの値「\bm{y}_{\bm{2}}」を計算する。

④\bm{x}_{\bm{2}}から\bm{x}_{\bm{1}}を引いて、その差を出す。

⑤\bm{y}_{\bm{2}}から\bm{y}_{\bm{1}}を引いて、その差も出す。

⑥「\bm{y}_{\bm{2}}-\bm{y}_{\bm{1}}」を「\bm{x}_{\bm{2}}-\bm{x}_{\bm{1}}」で割る。


ということをします。

つまり、２つのｘの差で２つのｙの差を割る、という単純な割り算です。この割り算をすることが「関数y=f(x)をｘで微分する」ということです。



■\bm{f}\bm{(}\bm{x}\bm{)}が「\bm{y}=\bm{2}\bm{x}」という一次関数を微分してみる■

たとえば、関数f(x)の中身が「ｘに２を掛ける」というものだとします。その結果をｙという文字で表現するとすれば、


　　　　　\bm{y}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}\bm{)}=\bm{2}\bm{x}


という表現になります。

たとえば、1年間に２万円の利払い金が出る債券があって、その利払い金を貯めていったとき、「ｘ年後には残高はｙ万円増えている」というような状況は、この式で表されます。


まず、x_{1}として「１」をとってみます。x_{2}は、それより１だけ大きい「２」にします。

「x_{2}-x_{1}」は言うまでもなく「１」です。


それぞれに対応するｙの値は、


　　　　　　 \bm{y}_{\bm{1}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{1}}\bm{)}=\bm{f}\bm{1}\bm{)}=\bm{2}\times \bm{1}=\bm{2}

　　　　　　\bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{2}\bm{)}=\bm{2}\times \bm{2}=\bm{4}


で、２つのｙの差「y_{2}-y_{1}」は「２」です。


この２つのｙの差「２」を、２つのｘの差「１」で割ると、答えは２。

以上、これでy=2xを微分する、という作業はおしまいです。


それはあまりにも単純すぎないか、という気がしないでもないかもしれません。


ここで、改めて「微分の作業の手順」を見てみると、「x_{1}よりも極々わずかに大きいところにx_{2}をとる」となっています。

いまx_{2}を２としたわけですが、これがx_{1}よりも極々わずかに大きい数なのか、というと、そうとは言えない可能性もあります。


そこで、x_{2}の値をもっと小さく、1.001としてみます。x_{1}とx_{2}の差は「0.001」ですから、確かに極々わずかな感じがします。


そうすると、y_{2}の値は、


　　　　　\bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}=\bm{2}\times \bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{1}=\bm{2}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{2}


です。y_{1}は先ほどと同じ２ですから、y_{2}との差は0.002.

これをx_{1}とx_{1}の差0.001で割ると、答えはさっきと同じ２．


もっともっとx_{2}の値をx_{1}に近づけても、この割り算の答えは２にしかなりません。


ならば、最初に決めるx_{1}の値を「１」ではな「２」として、x_{2}を「2.001」としてみたらどうでしょうか。２つのｘの差は0.001です。


　それぞれに対応するyの値は、


　　　　　\bm{y}_{\bm{1}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{1}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{2}\bm{)}=\bm{2}\times \bm{2}=\bm{4}

        \bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{2}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{2}\bm{)}=\bm{2}\times \bm{2}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{1}=\bm{4}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{2}


y_{1}とy_{2}の差は0.002.これをｘの差0.001で割ってみると、やっぱり今度も答えは２です。


x_{1}として他のどの値をとってみても、x_{2}の値をもっともっと小さくしても、この割り算を計算すると、何をやっても答えは２にしかなりません。


つまり、「y=f(x)=2xをｘで微分すると２になる」ということなのです。


このy=2xが「毎年２万円の利払い金を貯めていったとき、ｘ年後までに残高が増えた額」を表す式だとすると、これをｘで微分した結果出てくる「２」とは、「１年後なり、２年後なり、各経過年時点におけるの残高ｙの増え方のペース」を 意味します。

この場合、１年後時点でも、２年後時点でも、何年後時点でも、増え方のペース、言うなれば”年速”は「２（万円）／年」で一定、というわけです。


■関数\bm{f}\bm{(}\bm{x}\bm{)}が「\bm{y}=\bm{x}^{\bm{2}}」という二次関数ならどうなるか■

「毎年２万円ずつ利払い金をもらうのだから、残高が増えるペースは１年あたり２万円だ、というのは、当たり前すぎるじゃないか」と思ったかもしれません。


では、関数f(x)の中身が「ｘを２乗する」、すなわちy=f(x)=x^{2}だったらどうなるでしょうか。

たとえば、最初の１年間では残高は１万円増え、次の１年間では４万円、その次の１年間では９万円増えていく、といった具合に、経過年数の２乗ずつ残高が増えていくようなイメージです。


まず、x_{1}を「１」、x_{2}を「1.1」としてみます。 その差は0.1です。

それぞれに対応するｙの値は、


　　　　　　\bm{y}_{\bm{1}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{1}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{1}\bm{)}=\bm{1}^{\bm{2}}=\bm{1}

          \bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{1}\bm{.}\bm{1}\bm{)}=\bm{1}\bm{.}\bm{2}\bm{1}


２つのｙの差「y_{2}-y_{1}」は0.21です。

これをｘの差「x_{2}-x_{1}=0.1」で割ると、答えは2.1と出てきます。


x_{2}の値をもっとx_{1}に近づけて、1.001とすると、


　　　　　　\bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}=\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{1}^{\bm{2}}=\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{2}\bm{0}\bm{0}\bm{1}


y_{1}は１ですから、その差をｘの差で割ると、


　　　　　　\displaystyle \frac{\bm{y}_{\bm{2}}-\bm{y}_{\bm{1}}}{\bm{x}_{\bm{2}}-\bm{x}_{\bm{1}}}=\frac{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{2}\bm{0}\bm{0}\bm{1}-\bm{1}}{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{1}-\bm{1}}=\frac{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{2}\bm{0}\bm{0}\bm{1}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{1}}=\bm{2}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{1}


と、さっきの「2.1」とは違う答えが出てくるではありませんか。


x_{2}の値をもっともっとx_{1}に近い1.0001にすると、y_{2}は、


　　　　　 \bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}=\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{2}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}


y_{2}とy_{1}の差は0.00020001を、x_{2}とx_{1}の差0.0001で割ると、答えは2.0001。

これまたさっきの答えとは違う値ですが、ここまでの３つの計算結果を比べてみると、いずれも「2+（x_{1}とx_{2}の差）」になっていることに気付かないでしょうか。

それゆえ、x_{1}とx_{2}の差が小さくなると、小数点以下の値が小さくなり、そして、その値は２に近い値になってきています。


とすると、x_{1}とx_{2}の差をほとんどゼロといっても差し支えないくらいに小さくしていったとしたら（ただし、完全にゼロにはしない）、おそらく、この割り算の答えは、「ほとんど２と言っても差し支えない値」になるに違いありません。


ということは、f(x)=y=x^{2}という関数を微分すると「２」になる、ということなのでしょうか。


ここで、前にやったのと同じように、x_{1}の値を変えて「２」としてみます。

x_{2}を2.001とした場合、２つのｘの差は0.001.

それぞれに対応するy_{1}とy_{2},および、その差は、


　　　　　　\bm{y}_{\bm{1}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{1}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{2}\bm{)}=\bm{2}^{\bm{2}}=\bm{4}

          \bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{2}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{2}\bm{)}=\bm{(}\bm{2}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}^{\bm{2}}=\bm{4}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{4}\bm{0}\bm{0}\bm{1}

　　　　　　\bm{y}_{\bm{2}}-\bm{y}_{\bm{1}}=\bm{4}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{4}\bm{0}\bm{0}\bm{1}-\bm{4}=\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{4}\bm{0}\bm{0}\bm{1}


これをｘの差0.001で割ると、答えは4.001。x_{1}が「１」のときとは全く違う答えが出てきてしまいました。


さらに、x_{2}の値を2.0001としてみると、ｘの差は0.001、y_{2}は


　　　　　　\bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{2}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}=\bm{(}\bm{2}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}^{\bm{2}}=\bm{4}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{4}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}


なので、y_{1}との差は0.004001.これをｘの差0.001で割ると、答えは4.0001です。

この２つの結果を比べてみると、今回は「4+(x_{1}とx_{2}の差）」になっています。


ということは、x_{1}を２として、x_{2}との差をほとんどゼロといっても差し支えなくくらい小さくしたら、この割り算の答えは「ほとんど４と言っても差し支えない値」になるのではないか、と考えられるところです。


実際にやってみると、確かにそうなります。


■\bm{x}_{\bm{1}}が「３」ならどうなるのか。「４」の場合は？■

y=2xのときとは違って、y=x^{2}の場合にはx_{1}を「１」としたときと、x_{1}を「２」としたときとでは、割り算の結果が違うものになってしまいました。


では、x_{1}が「３」ならどうなるでしょうか。

x_{2}を3.0001とすると、x_{1}との差は0.001。

y_{1}、y_{2}、およびその差は、


　　　　　　\bm{y}_{\bm{1}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{1}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{3}\bm{)}=\bm{3}^{\bm{2}}=\bm{9}

          \bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{3}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}=\bm{(}\bm{3}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}^{\bm{2}}=\bm{9}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{6}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}

　　　　　　\bm{y}_{\bm{2}}-\bm{y}_{\bm{1}}=\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{6}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}


x_{1}とx_{2}の差0.0001でy_{1}とy_{2}の差を割ると、答えは6.0001。

これまでの結果から予想するに、この割り算の結果は「6＋（x_{1}とx_{2}の差）」になりそうではないでしょうか。

そして、x_{2}とx_{1}の差がほとんどゼロといっても差し支えないくらいに小さければ、この割り算の答えは「ほとんど６と言っても差し支えない値」になる、という予想もできそうです。


実際にやってみると、これまた確かにそうなります。


ここで、これまでの結果をまとめてみると、


◎\bm{x}_{\bm{1}}=\bm{1}のとき、\bm{x}_{\bm{2}}との差が極々わずかであれば、ｙの差をｘの差で割った答えは「『２』といっても差し支えない値」になる

◎\bm{x}_{\text{１}}＝\bm{2}のときには、ｙの差をｘの差で割った答えは「『４』と言っても差し支えない値」になる。

◎\bm{x}_{\bm{1}}=\bm{3}のときには、「『６』と言っても差し支えない値」になる。


ということです。

この結果を見ると、「x_{1}とx_{2}の差が極々わずかなとき、ｙの差をｘの差で割った答えは、『x_{1}の２倍』といって差し支えない値」になっています。


これが偶然でないとすれば、x_{1}が「４」のときには、同じような割り算の答えは「８と言っても差し支えない値」になるはずです。

実際、x_{2}を4.0001としてみると、


　　　　　　\bm{y}_{\bm{1}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{1}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{4}\bm{)}=\bm{4}^{\bm{2}}=\bm{1}\bm{6}

          \bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}=\bm{f}\bm{(}\bm{4}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}=\bm{(}\bm{4}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}\bm{)}^{\bm{2}}=\bm{1}\bm{6}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{8}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}

         \displaystyle \frac{\bm{y}_{\bm{2}}-\bm{y}_{\bm{1}}}{\bm{x}_{\bm{2}}-\bm{x}_{\bm{1}}}=\frac{\bm{1}\bm{6}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{8}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}-\bm{1}\bm{6}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}}=\bm{8}\bm{.}\bm{0}\bm{0}\bm{0}\bm{1}


と、やっぱりそうです。


x_{1}をほかのどんな値にしても、やはりｙの差をｘの差で割った答えは「『x_{1}の２倍』と言って差し支えない値」になります。


これこそが、y=f(x)=x^{2}という関数をｘで微分する、という作業で得られる結果です。