微分すると「変化の様子」が見えてくる（２）

■「 $\bm{x}_{\bm{1}}$ の2倍」という値は何を表しているのか■

ところで、 $y=f(x)=x^{2}$ という関数をｘで微分すると「 $x_{1}$ の２倍」になるという、この「 $x_{1}$ の２倍」とは一体何なのでしょうか。

$y=f(x)=x^{2}$ のグラフを見ながら考えてみます。

実際にはあり得ませんが、取りあえず、このグラフは「残高ｙが時間ｘの経過とともに $x^{2}$ で増えていく魔法の預金」の様子を表していると思ってください。

たとえば、 $x_{1}$ を２（年後時点）、 $x_{2}$ を４（年後時点）とします。残高は２年後時点で４万円、４年後時点で16万円ですから、２年間で12万円増えています。

この増え方を「1年あたりどのくらいのペースで増えたか」、言わば”増え方の年速”で表現するとどうなるでしょうか。

2年で12万円ですから、「12万円÷２年」で６（万円／年）」。

と、言ってしまってよいものでしょうか。

２年後時点の残高４万円は、３年後時点では９万円と、５万円しか増えていません。その９万円が、その次の１年間で７万円増えた結果、3年後時点で残高は16万円になっているわけです。

そうすると、「12万円÷２年」という計算で出てきた６（万円／年）は、「２年後時点から４年後時点における、増え方の”平均年速”」と言わなければなりません。

では、平均ではなくて、「ジャスト２年後時点における瞬間の増え方速度」はいくらなのでしょうか。

$x_{2}$ を３（年後時点）とすると、２年後から３年後までの１年間で５万円増えています。ならば、瞬間の増え方速度は「５（万円／年）」か、というと、これも「ジャスト2年後時点の瞬間増え方速度」とは言えません。

というのも、２年後時点から半年で2万2500円増え、２年半後時点からその後の半年間で２万7500円増えた結果、３年後時点で９万円になっているのですから、やはりこの「５（万円／年）」も平均の年速です。

結局、 $x_{2}$ を $x_{1}$ の２（年後時点）に近づけていっても、その間に時間差がある以上、その２時点から計算される増え方の速度は平均年速にしかなりません。

つまり、”ジャスト $x_{1}$ 年後時点”の増え方速度を正確に知ることはできない、ということです。

ただ、「正確に」ではありませんが、 $x_{2}$ が $x_{1}$ の２（年後時点）に極めて近い、その差をほとんどゼロといっても差し支えないくらいわずかなものすれば、、”ジャスト $x_{1}$ 年後時点”の瞬間増え方速度といっても差し支えないような年速を出すことは可能ではないでしょうか。

これがまさに微分です。

つまり、実際には $x_{1}$ と $x_{2}$ の２つの時点を考えてはいるものの、ほとんど１点にしか見えないくらいに双方を近づけることによって、それを”瞬間”として捉え、その瞬間の変化の様子を「単位あたりの変化（この場合は、年換算の増え方速度）」の形で表現するわけです。

これをグラフ上で表すと、あたかも”ジャスト $x_{1}$ 年時点”の１点で接する接線のように見えます。

$x_{1}$ の値が大きくなればなるほど、接線の傾き度合いが急になっています。これは、 $x_{1}$ が大きくなるほど、増え方の年速が増している、加速していることを示します。

「 $x_{1}$ の２倍」とは、この接線（的なもの）の傾きを示す値です。つまり、「 $x_{1}\times 2$ 」の値は、 $y=x^{2}$ という関数で表される量の、各 $x_{1}$ 点における変化の速度、変化の様子を表している、ということです。

この「各 $x_{1}$ 点における変化の様子」を表す式、 $y=x^{2}$ であれば「 $2x$ 」は、導関数と呼ばれます。「微分する」というのは、この導関数を求める作業のことを指します。

この「 $2x$ 」という導関数のｘの部分に、１なり、２なりという具体的な $x_{1}$ の数字を入れると、各 $x_{1}$ 点における瞬間速度的な値が出てきます。この値は、その $x_{1}$ を接点とする接線の傾きでもあります。

この瞬間速度的な具体的な値は微分係数と呼ばれます。

■微分の表現方法のいろいろ■

前ページでは、微分の手順として、差がわずかしかない２つのｘの差「 $x_{2}-x_{1}$ 」で、それぞれのｘに対応するｙの差「 $y_{2}-y_{1}$ 」を割る、という表現をしましたが、ここで、少し表現方法を変えてみます。

まず、 $x_{1}$ と $x_{2}$ の差を「Δｘ」、 $y_{1}$ と $y_{2}$ の差を「Δｙ」とします。すなわち、

　　　　　　 $\bm{x}_{\bm{2}}-\bm{x}_{\bm{1}}=\mathbf{\Delta} \bm{x} \bm{y}_{\bm{2}}-\bm{y}_{\bm{1}}=\mathbf{\Delta} \bm{y}$

です。

そうすると、 $x_{2}$ は「 $x_{1}+\Delta x$ 」という形で表すことができますから、 $x_{2}$ という文字はもう使う必要がなくなります。

$x_{2}$ という文字を使わなくてもよいとなれば、 $x_{1}$ にも添え字をつけることはないでしょう。単に「ｘ」としてしまいます。

また、前のページで、「 $y_{1}=f(x_{1})$ 」 $y_{2}=$ 「 $f(x_{2})$ 」などとしてきましたが、「 $x_{1}$ 」を単にｘにして、さらに「Δｘ」「Δｙ」という表現を導入すると、

　　　　　　 （旧） $\bm{y}_{\bm{1}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{1}}\bm{)}$ 　→　（新） $\bm{f}\bm{(}\bm{x}\bm{)}$

　　　　　　（旧） $\bm{y}_{\bm{2}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}$ 　→　（新） $\bm{f}\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}$

　　　　　　（旧） $\bm{y}_{\bm{2}}-\bm{y}_{\bm{1}}=\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{2}}\bm{)}-\bm{f}\bm{(}\bm{x}_{\bm{1}}\bm{)}$ 　→　 （新） $\bm{f}\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}-\bm{f}\bm{(}\bm{x}\bm{)}$

という書き方ができます。

さらに、「 $x_{1}$ と $x_{2}$ の差は極々わずかでしかない」ということは、「Δｘが限りなくゼロに近い」と言い換えてもよいでしょう。

この「限りなく」感を「linit」を省略した「lim」という文字で表すことにします。

これらを使って、微分という作業を表現すると、

　　　　　　 $\displaystyle \mathbf{\lim}_{\mathbf{\Delta} \bm{x}\rightarrow \bm{0}}\frac{\mathbf{\Delta} \bm{y}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}=\mathbf{\lim}_{\mathbf{\Delta} \bm{x}\rightarrow \bm{0}}\frac{\bm{f}\bm{(}\bm{x}+\mathbf{\Delta} \bm{x}\bm{)}-\bm{f}\bm{(}\bm{x}\bm{)}}{\mathbf{\Delta} \bm{x}}$