\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}」年とは、具体的に何年なのか


■指数法則を対数に変えると便利な公式ができる■

関数電卓や表計算ソフト『Excel』には、その対数がいくらになるのか、具体的な数値を出してくれる機能があります。

が、比較的手軽な関数電卓の場合には計算できる対数は、底が10の常用対数(log_{10}Aという形の対数)か、底がネイピア数eの自然対数だけです。(ネイピア数「e」については、年複利回数が大きくなると残高が定額に近づく理由とは、を見て下さい。 )


この場合、「金利4%で複利運用したとき、100万円の元本が130万円になる年数」、すなわち、底が1.04の「log_{1.04}1.3」の値を直接出すことができません。


ただ、直接出すことはできないものの、この「log_{1.04}1.3」を常用対数か自然対数に置き換えれば、間接的に計算することは可能です。


もちろん、Excelを使えば、底がいくらの対数でもすぐに計算できます(具体的なやり方は、Excelで対数の値を計算してみる、をご覧下さい。)。

が、ここでは、あえて「常用対数か自然対数しか計算できないとき」の計算のやり方を紹介します。


というのは、高校数学の公式集などでは、「真数がいくらのとき、常用対数の値はいくらになるか」をまとめている常用対数表がついていて、この表の値を調べれば、関数電卓さえも使わずに、底がいくらの対数でも、その値を知ることができるからです。


そのために、まずは、かつて習った対数の公式を思い出しておきます。

この対数の公式は、、「0.5乗とは一体どういう意味か」で出てきた指数法則から考えると、その意味がすぐにわかると思います。

で出てきた指数法則から考えると、その意味がすぐにわかると思います。


(対数の公式その1)……\bm{a}^{\bm{0}}=\bm{1}の変形

底がいくらであっても、真数が1ならば、その対数の値は0


指数法則

       \bm{a}^{\bm{0}}=\bm{1}


を「aは何乗すると1になるか」という対数に書き換えると、


       \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{1}=\bm{0}

です。

どんな数も「ゼロ乗」は「1」、底がいくらであっても、真数が「1」の対数は「ゼロ」になります。


(対数の公式その2)……\bm{a}^{\bm{1}}=\bm{a}の変形

底と真数が同じ対数の値は「1」である。


たとえば、底が2、真数も2という対数「log_{2}2」とは、「(底の)2が(真数の)2にするには何乗すればいいか」という意味です。

どんな数も「1乗」した結果は、その数自身と同じです。


底と真数をaとすれば、


          \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}=\bm{1}


です。


これを少し発展させて、たとえば真数がa^{2}の場合はどうなるかというと、もともと対数の値は「底の値を何乗すると真数になるのか」ですから、底がaで、真数がa^{2}ならば、対数の値は「2」。真数がa^{n}ならば、対数の値は「n」です。


つまり、

           \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}^{\bm{n}}=\bm{n}


というわけです。


(対数の公式その3)

\bm{a}=\bm{b}のとき、底が同じで真数がそれぞれa、bの対数もやはり等しい。


たとえば、aもbも「c^{n}」で表される同じ値だとします(cは0より大きく、1でない実数)。

すなわち、


         \bm{a}=\bm{c}^{\bm{n}}    \bm{b}=\bm{c}^{\bm{n}}


です。


この「n乗」を対数で表現すると、


         log_{c}a=n   log_{c}b=n


と、どちらの値もnになります。よって、


      \bm{a}=\bm{b}ならば   \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{a}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{b}


が成り立ちます。


たとえばaなり、bなりのある値があって、それを真数とした対数にすることを「対数をとる」などと呼ばれます。

2つの値の間で等式が成り立っていれば、両辺対数を取ってもやはり等式が成り立ちます。

いかにも当たり前な感じですが、実はこの先、この公式が非常に重要になります。


(対数の公式その4)

真数が「\bm{x}×\bm{y}]というような掛け算になっている対数は、底が同じ値の対数の足し算にすることができる。


底が「a」の対数でこれを式で表現すると、、


            \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\bm{x}\times \bm{y}\bm{)}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{x}+\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{y}


という形になる、という公式です。


これは、指数関数の「掛け算を足し算にすることができる」法則


       \bm{a}^{\bm{m}}\times \bm{a}^{\bm{n}}=\bm{a}^{\bm{m}+\bm{n}}


から説明されます。


たとえば、\bm{a}^{\bm{m}}=\bm{x}で。\bm{a}^{\bm{n}}=\bm{y}だとします。そうすると「a^{m}\times a^{n}=x\times y」ですから、上の指数法則は、


              \bm{x}\times \bm{y}=\bm{a}^{\bm{m}+\bm{n}}


と表現できます。


ここで、両辺について「a」を底とする対数を取ってみます。


       \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\bm{x}\times \bm{y}\bm{)}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}^{\bm{m}+\bm{n}}


ですが、対数の公式その2で出てきた、「log_{a}a^{n}=n」を用いると、


       \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\bm{x}\times \bm{y}\bm{)}=\bm{m}+\bm{n}      ……(A)


になります。


一方、\bm{a}^{\bm{m}}=\bm{x}\bm{a}^{\bm{n}}=\bm{y}を、それぞれaを底とした対数にすると、


       \bm{a}^{\bm{m}}=\bm{x}  \bm{m}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{x}

            \bm{a}^{\bm{n}}=\bm{y}  →  \bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{y}


です。mは「log_{a}x」であり、nは「log_{\bm{a}}y」で表現できるわけです。

これを、先ほどの{A}式に取り入れると、


       \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\bm{s}\times \bm{y}\bm{)}=\bm{m}+\bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{x}+\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{y}


と、最初に登場した公式になります。


もし、左辺の(x\times y)の部分が\displaystyle \frac{x}{y}という分数だったらどうなるでしょうか。


これもやはり指数法則


       \displaystyle \bm{a}^{\bm{m}}\div \bm{a}^{\bm{n}}=\frac{\bm{a}^{\bm{m}}}{\bm{a}^{\bm{n}}}=\bm{a}^{\bm{m}-\bm{n}}


との関連で考えることができます。


ここでもa^{m}=xa^{n}=yとすると、「\displaystyle \frac{\bm{a}^{\bm{m}}}{\bm{a}^{\bm{n}}}=\frac{\bm{x}}{\bm{y}}」となりますから、上の指数法則は、


       \displaystyle \frac{\bm{x}}{\bm{y}}=\bm{a}^{\bm{m}-\bm{n}}


になり、両辺ともaを底とする対数にすると、


      \displaystyle \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\frac{\bm{x}}{\bm{y}}\bm{)}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}^{\bm{m}-\bm{n}}=\bm{m}-\bm{n}  ……(B)


です。

先ほどと同じく、mは「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{s}」であり、nは「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{y}」ですから、これをに(B)式に取り入れると、


      \displaystyle \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{(}\frac{\bm{x}}{\bm{y}}\bm{)}=\bm{m}-\bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{x}-\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{y}


という形になります。


そこで

(対数の公式その5)

真数が「\displaystyle \frac{\bm{x}}{\bm{y}}]というような割り算になっている対数は、底が同じ値の対数の引き算にすることができる。


ということになります。


(対数の公式その6)

真数が「n乗」という形になっている場合、真数から「n乗」を取り外した対数と「n」の掛け算にすることができる。


底をa,真数をbとした対数でこれを表現すると、


      \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}^{\bm{n}}=\bm{n}\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}


真数bから「n乗」を取ってしまい、「n」だけを前に出せる、という公式です。


これは、「aのm乗をさらにn乗すると、aの(m×n)乗になる」という指数法則


      \bm{(}\bm{a}^{\bm{m}}\bm{)}^{\bm{n}}=\bm{a}^{\bm{m}\times \bm{n}}


から説明することができます。


まず、\bm{a}^{\bm{m}}が「b」という値だとします。\bm{a}^{\bm{m}}=\bm{b}ですから、上の指数法則に当てはめれば、


      \bm{b}^{\bm{n}}=\bm{a}^{\bm{m}\times \bm{n}}


です。

ここで両辺、aを底とした対数を取ってみます。


      \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}^{\bm{n}}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}^{\bm{m}\times \bm{n}}


ですが、今回も左辺は対数の公式その2によって、


      \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}^{\bm{n}}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{a}^{\bm{m}\times \bm{n}}=\bm{m}\times \bm{n}   ……(C)


とすることができます。


一方、「\bm{a}^{\bm{m}}=\bm{b}」から「m」を対数で表現すると、


      \bm{m}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}


です。

このmの表現を(C)式に取り入れると、


      \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}^{\bm{n}}=\bm{m}\times \bm{n}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}\times \bm{n}


となり、「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}」と「n」の掛け算になる、という公式が出てきます。


(対数の公式その7)

\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}」という対数は、「\displaystyle \frac{\text{bを真数とした対数}}{\text{aを真数とした対数}}」(分母、分子の対数の底は同じ値で、0より大きく、1でない数)という分数に変換できる。


たとえば、「log_{a}b」を取りあえずkなどという適当な値に置き換えます。つまり、


      \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}=\bm{k}→ \bm{a}^{\bm{k}}=\bm{b}


です。

この「\bm{a}^{\bm{k}}=\bm{b}」の両辺について、「c」を底とする対数を取ってみます。


      \bm{a}^{\bm{k}}=\bm{b}

           \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{a}^{\bm{k}}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{b}


ここで、右辺の「k乗」は対数の公式その6によって前に出すことができます。

すなわち、


      \bm{k}\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{a}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{b}

になります。


これを変形すると、


      \displaystyle \bm{k}=\frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{b}}{\bm{l}\bm{o}\bm{b}_{\bm{c}}\bm{a}}


ですが、「k」は「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}=\bm{k}」ということでしたから、これは結局、


      \displaystyle \bm{k}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{a}}\bm{b}=\frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{b}}{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{c}}\bm{a}}


となって、これが公式その7です。


公式が長くなってしまいましたが、「金利4%のときに、元本が1.3倍になる年数」を表す対数「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}」の具体的な値を計算するときには、この公式その7を使いますす。


■「\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}」を底が10の常用対数に変換する■

\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}」という対数は、「公式その7」があれば、常用対数でも自然対数でも、どちらにも簡単に変換できます。

公式その7の右辺の底「c」のところに、常用対数ならば「10」、自然対数なら「e」を当てはめれば、分母と分子の具体的な値が特定できます。あとは、割り算をするだけです。


ここでは、底が10の常用対数に変換してみましょう(自然対数に変換しても、答えはもちろん同じです)。


公式その7を使うと、\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}は、


      \displaystyle \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}=\frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}}{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}


という分数になります。


分母・分子それぞれを関数電卓で計算すると、


      \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}=\bm{0}\bm{.}\bm{1}\bm{1}\bm{4}

            \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}=\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{1}\bm{7}


という値が出てきます。

これを割り算すると、「金利4%のとき、元本が1.3倍になる年数」は


      \displaystyle \frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{3}}{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{4}}=\frac{\bm{0}\bm{.}\bm{1}\bm{1}\bm{4}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{1}\bm{7}}=\bm{6}\bm{.}\bm{7}(年)


と出てきました。



■金利5%の複利運用で元本が2倍になる年数は?■

同じようなやり方で、本文の(2)で出てきた「金利が5%のとき、元利が2倍になる年数」が計算できます。


元本が2倍になる年数Tを表す対数は、


      \bm{T}=\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{5}}\bm{2}


です。

これを先ほどと同じように常用対数の形にすれば、


      \displaystyle \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{5}}\bm{2}=\frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{2}}{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{5}}


となります。

分母・分子を関数電卓で計算すると、


      \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{2}=\bm{0}\bm{.}\bm{3}\bm{0}\bm{1}

      \bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{5}=\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{2}\bm{1}\bm{2}


よって、元本が2倍になる年数Tは、


     \displaystyle \frac{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{2}}{\bm{l}\bm{o}\bm{g}_{\bm{1}\bm{0}}\bm{1}\bm{.}\bm{0}\bm{5}}=\frac{\bm{0}\bm{.}\bm{3}\bm{0}\bm{1}}{\bm{0}\bm{.}\bm{0}\bm{2}\bm{1}\bm{2}}=\bm{1}\bm{4}\bm{.}\bm{2}\bm{(}年)


です。   ◇