（１）目標の元利合計額に到達する年数を求めるには
複利運用できる金融商品があるとき、まず考えるのは「この金利で満期まで運用したら、元利合計額はいくらになるか」ではないかと思います。
年１回複利の場合なら、元本をＰ０、金利をｒとすると、Ｔ年後の元利合計額Ｐは、
で計算できます。
この計算は、元本と運用金利、そして年数が予めわかっていて、そこから元利合計額を求めているわけですが、金融商品を選ぶときには「いまある元本を○年後にいくらに増やしたい。それには年何％あればいいのか」と考えるケースもあるでしょう。つまり、元本と元利合計の目標額、そして運用年数が決まっていて、それを実現するのに必要な金利を求めたい、というケースです。
この場合は、先ほどの「元利合計額Ｐ＝」の式を「金利ｒ＝」という形に変形すれば出てきます。すなわち、
となります。
※「Ｔ乗根」がなぜ「Ｔ分の１乗」に？？？ という方は、「０．５乗」とは一体どういう意味なのか、を見て下さい。
さらに、こんなふうに考えることもあると思います。
「この金利で複利運用した場合、元利合計が目標額に到達するまでに何年かかるのか」。
つまり、元本と運用金利、そして目標の元利合計額が最初に決まっていて、それを実現するのに必要な年数を求めたいケースです。
これは、「１＋金利ｒ」をＴ乗する場合の指数部分「Ｔ」を求めるということです。どうやって求めればいいのかというと、こうしたときに登場するのが、高校の数Ⅱで習った対数、あの「log」なるものです。
たとえば、「２をｎ乗すると８になる」という式は「２ｎ＝８」です。これを「２を８にならしめるのは、ｎという指数である」というふうに、ｎ乗の「ｎ」を表現するときには「ｎ＝log 2 ８」とします。
この場合、ｎは３です。
※「対数」なるものとはどんなものだったかな？、という方は、logとは何を表現するものなのか、をご覧下さい。
これと同じようにすれば「年数Ｔ」が表現できます。
ここで、Ｔ乗する「１＋金利ｒ」を「Ｒ」という１文字にしてしまいます。金利が４％、つまりｒが0.04ならば、Ｒは1.04。といった具合に、金利ｒが予め決まっていれば自動的にＲも決まりますから、問題はありません。
元本をＰ０、目標の元利合計額をＰとすると、年数Ｔは、
という式で求められます。
たとえば、元本１００万円は金利４％で何年複利運用すると１３０万円になるのか、という場合ならば、
です。
この log 1.041.3 という式ですが、底の1.04も真数1.3も予め決まっている数なので、この式の値はもはや特定されます。
ですから、「金利４％の複利運用で元本１００万円が元利合計１３０万円になるのは何年後か」という問題を出されたときに、「log 1.041.3 年です」と答えても間違いではありません。
これは、「金利４％で年１回複利運用したら、元本１００万円は５年後にいくらになるか」という問題に対して、「1.04５×１００万円です」と答えるのと同じようなことです。
とはいえ、「必要な年数は『log 1.041.3』年だ」などと言われても、具体的に何年なのか、これではイメージすらできません。
この式の値が普段使っている数値にすると何年になるのかは、関数電卓や『Ｅｘｃｅｌ』で計算することができます。
具体的な年数は6.7年です。
※具体的な計算方法を知っておきたいという方は、「log1.041.3」年とは、具体的に何年なのか、をご覧下さい。
次は、（２）マイナス複利運用で考える「半減期」、です。
